Mqhywji

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні джерела. Матеріал без джерел може бути підданий сумніву та вилучений. (липень 2013)

Подібність — перетворення евклідового простору, при якому для будь-яких двох точок ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та їх образів ${\displaystyle A^{\prime }}$, ${\displaystyle B^{\prime }}$ має місце співвідношення ${\displaystyle |A^{\prime }{B}^{\prime }|=k|AB|}$, де ${\displaystyle k}$ — додатне число, яке називають коефіцієнтом подібності.

Приклади[ред. | ред. код]

• Кожна гомотетія є подібністю.
• Кожний рух (в тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом ${\displaystyle k=1}$.

Подібні фігури мають однакові кольори.

Зв'язані визначення[ред. | ред. код]

• Фігура ${\displaystyle F}$ називається подібною до фігури ${\displaystyle F^{\prime }}$, якщо існує перетворення подібності, при якому ${\displaystyle F\to <!--\; \to \; -->F^{\prime }}$.
  • Подібність фігур є відношенням еквівалентності.

Властивості[ред. | ред. код]

• Подібність є взаємно однозначне перетворення евклідового простору на себе.
• Подібність зберігає порядок точок на прямій, тобто якщо точка ${\displaystyle B}$ лежить між ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle B^{\prime }}$, ${\displaystyle A^{\prime }}$, ${\displaystyle C^{\prime }}$ — відповідні їх образи при деякому перетворенні подібності, тоді ${\displaystyle B^{\prime }}$ також лежить між точками ${\displaystyle A^{\prime }}$ і ${\displaystyle C^{\prime }}$.
• Точки, що не лежать на прямій, переходять в точки, що не лежать на прямій.
• Подібність перетворює пряму в пряму, відрізок у відрізок, промінь в промінь, кут в кут, коло в коло.
• При подібності кут зберігає величину.
• Подібність з коефіцієнтом ${\displaystyle k\ne 1}$, яка перетворює пряму в паралельну їй пряму, є гомотетією з коєфіцієнтом ${\displaystyle k}$ або ${\displaystyle -<!--\; -\; -->k}$.
  • Кожну подібність можна розглядати як композицію руху ${\displaystyle D}$ і деякої гомотетії ${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$ з додатним коефіцієнтом.
  • Подібність називається власною (невласною), якщо рух ${\displaystyle D}$ є власним (невласним). Власна подібність зберігає орієнтацію фігур, а невласна - змінює орієнтацію на протилежну.
• Два трикутники є подібними, якщо
  • їх відповідні кути однакові
  • сторони пропорційні (див. подібність трикутників).
• Площі подібних фігур пропорційні квадратам їх схожих ліній (наприклад, сторін). Так, площі кіл пропорційні відношенню квадратів їх діаметрів (або радіусів).

Узагальнення[ред. | ред. код]

Аналогічно визначається подібність (зі збереженням вказаних вище властивостей) в 3-вимірному евклідовому просторі, а також в n-вимірному евклідовому та псевдо-евклідовому просторі.